Un ruban de Möbius

On dit que l'ennui est propice à l'émergence de grandes idées ... 

 

En attendant notre commande au restaurant, nous nous sommes mis à jouer à plier nos serviettes en papier, et le ruban de Möbius s'est invité à notre table. 😊

Un ruban de Möbius ? Mais qu'est-ce que c'est ?

 

C'est un objet mathématique aussi fascinant que simplissime : il s'agit d'une surface qui n'a qu'une seule face et une seule arête. Incredible, n'est-il pas ?

De retour à la maison, il fallait absolument que nous explorions la chose avec un peu plus de rigueur ...

 

Défi du jour :

 

Transformer une bande de papier 

(qui a, évidemment, deux faces et quatre arêtes), 

en une surface qui n'a qu'un seul côté et une seule arête ... 

 

Est-ce seulement possible ????

Matériel :

 

- Deux bandes de papier d'environ 5 cm de largeur sur 60 cm de longueur. Si vous n'avez pas de feuilles de papier assez grande, vous pouvez fabriquer de longues bandes en scotchant environ plusieurs morceaux coupés dans du papier Canson, par exemple. Assurez-vous dans ce cas que le scotch recouvre bien toute la largeur des bandes, afin qu'il se fasse oublier.

- Quatre feutres aux couleurs contrastées.

- Du ruban adhésif.

Fabriquer un ruban de Möbius, c'est parti !

1. Avant de commencer, observons une bande de papier. Combien a-t-elle de faces ? Combien d'arêtes ? On compte évidemment deux faces (recto et verso), et 4 arêtes (longueurs et largeurs opposées).

2. Demandons à l'enfant de fabriquer une "couronne", ou pour le dire plus exactement, un cylindre creux. Il suffit de joindre les deux largeurs et de les fixer avec un morceau de ruban adhésif. Veillons à appliquer le scotch sur toute la largeur de l'objet, afin de joindre les bords parfaitement. 

 

Posons l'objet créé sur notre tête : comme une couronne, il est stable et s'ajuste à notre royal crâne ... 👆

3. Pour faire un ruban de Möbius à présent, on se saisit de la seconde bande de papier, dont on joint également les deux largeurs. Mais cette fois, on impose une torsion d'un demi-tour sur elle-même à la bande, avant de la fixer. De même que précédemment, on veille à bien appliquer le scotch sur toute la largeur de l'objet pour le refermer. 

 

 

Si nous posons ce volume sur notre tête, nous constatons qu'il n'a pas du tout la même tenue qu'une couronne - hum ... Plutôt une sorte de toque d'infirmière rétro ?

4. Reprenons notre couronne - le cylindre creux. Traçons précautionneusement au feutre une ligne au centre d'une de ses faces (en bleu, ici). Poursuivons notre trait, en veillant en rester au milieu de la bande, jusqu'à ce que nous rencontrions le début de notre tracé.

Changeons de couleur (rouge pour nous) et réalisons la même chose sur l'autre face. Vous pouvons retourner délicatement votre couronne, comme un gant, pour rendre l'opération plus aisée.

On constate aisément que notre surface a deux faces (une "dedans" et une "dehors"), qui sont à présent marquées par deux couleurs différentes.

5. Soulignons les arêtes de la "couronne" en changeant de couleur pour chacune 👆 (vert et brun chez nous). Notre volume a-t-il le même nombre d'arêtes que la bande de papier initiale ? Non - une bande de papier possède 4 arêtes, alors que la couronne n'en possède que 2.

 

 

6. Revenons à notre ruban de Möbius, et traçons délicatement une ligne au centre du ruban (en rouge ici) jusqu'à ce qu'elle se rencontre elle-même.

 

7. Que constatons-nous ? Combien de face a-t-on ici ? 

 

L'opération vous a peut-être paru un peu longue, et pour cause ... Quand on trace une ligne au centre de d'un ruban de Möbius, on constate que notre trait parcourt les deux faces de la bande de papier originale, celle que nous avions avant de la tordre et de la fixer. Que peut-on en déduire sur la longueur de la ligne que nous venons de tracer, par rapport à la longueur de la  bande de papier (60 cm environ) ?

 

Repassons les arêtes - ici en vert. Que constate-t-on ?

 

Si notre figure n'a qu'une seule face et qu'une seule arête, alors nous sommes face à un ruban de Möbius - car telle est sa définition. 😊

 

Allez, on termine par une petite blague absurde que seuls les mathématiciens apprécieront à sa juste mesure (attention, humour gallinophobe) :

" Pourquoi les poules traversent-elles le ruban de Mobïus ?"

 

Réponse : 

"Pour aller de l'autre côté !!!!"

 

Hahaha, mais c'qu'elles sont bêtes, ces poules !! 😂😝😂

 

Les mathématiques sont fantastiques. 

D'accord ou pas d'accord ? 😉

 

(Ne jetez pas vos rubans z'et couronnes si vous réalisez, car nous les recyclerons dans une prochaine activité ! ✂✂✂ )