La spirale de Fibonacci
September 30, 2021
Ding - Dong ! L'heure a sonné de notre dernière séance consacrée à Fibonacci ... 😊
(Vous retrouverez tous mes articles consacrés au travail de ce mathématicien en fin d'article 👇)
L'activité suivante se présente comme un dialogue entre mathématiques, art et Histoire ... Elle fut un plaisir à réaliser et j'espère qu'elle plaira à vos petits !
(Pour plus de fluidité, je m'adresse directement à l'enfant dans les lignes qui suivent ... Voici les choses telles que je les ai présentées à Antonin et Louiselle, 10 et 9 ans ! 😊)
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Voici un rectangle quadrillé :
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Quelle est sa longueur, sa largeur ? Ces données t'évoquent-elles quelque chose ? 😏
Ce type de rectangle est appelé "rectangle d'or", comme le nombre d'or, exactement ! Nous l'appelons rectangle d'or parce que sa longueur et sa largeur sont deux nombres de Fibonacci consécutifs (34 et 21). Et si l'on divise sa longueur par sa largeur, on obtient une valeur approchée du nombre d'or (Tout ceci est un rappel de la séance précédente 😉 ).
Je ne sais pas ce que tu en penses, mais de nombreux artistes ont trouvé, et trouvent encore, le rectangle d'or particulièrement beau. Un rectangle peut-il être beau ? Certains pensent qu'il plait à l’œil parce que ses proportions sont parfaites. Question de goût sans doute, mais il reste vrai que de nombreux artistes ont utilisé ces "divines proportions" pour structurer leurs œuvres. Observons plutôt :
La Joconde, Léonard de Vinci, 1503.
Le visage de Mona Lisa est parfaitement encadré dans un rectangle d'or. Et connaissant l'amour de Léonard de Vinci pour les nombres, ce n'est certainement pas un hasard ! 😊
L'école d'Athènes, de Raphaël, Vatican, 1508.
Les groupes de personnages principaux, et en particulier ceux situés au centre de la scène, s'inscrivent dans des rectangles d'or. Décidément, on aimait bien cette proportion, à la Renaissance ! Mais pas seulement à cette époque, regarde plutôt :
Façade du Parthénon d'Athènes, Ve siècle avant J-C.
Le nombre d'or est omniprésent dans l'architecture antique, et de nombreux savants d'aujourd'hui étudient encore la question, et traquent le nombre d'or dans les édifices de l'Antiquité. Bon, ils ne le trouvent pas partout, mais les grecs aimaient l'harmonie, et pensaient, comme les hommes du Moyen-Âge, que ces proportions étaient particulièrement agréables à regarder.
Revenons au Moyen-âge ... L'amour pour cette proportion est si fort qu'on dessine les plans des châteaux et des cathédrales en y incluant des rectangles d'or ...
Voici par exemple le plan de la cathédrale Notre - Dame de Paris (XIIe siècle) :
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À présent, faisons une petite recherche géométrique afin de mieux comprendre les particularités de ce fameux rectangle.
1. Reprenons notre rectangle d'or quadrillé. Trace une droite verticale qui le divise en deux, de telle sorte que tu obtiennes un carré à gauche, et un rectangle à droite.
Oh, regarde ! Hergé a fait le même travail que toi 😮 - mais en miroir, ce qui marche aussi très bien ! L'image ci-dessous est comme coupée en deux : que se passe-t-il à droite ? Et à gauche ?
2. Revenons à notre rectangle quadrillé. Concentre-toi sur ce nouveau rectangle obtenu, à droite : quelle est sa longueur ? Quelle est sa largeur ? Que constates-tu ? Oui, il s'agit d'un rectangle d'or, encore ! Trace à présent une droite horizontale qui le sépare en deux : en haut, un carré, et en bas, un nouveau rectangle.
3. Tu me vois venir ? Quelle est la longueur de ce nouveau rectangle ? Quelle est sa largeur ? Quel est leur ratio ? Oui, il s'agit d'un rectangle d'or, encore ! Trace une droite verticale pour le couper en deux : un carré à droite et un rectangle à gauche.
4. Que constates-tu ? Voilà ... Encore un rectangle d'or ... Sépare-le en deux par une droite verticale : un carré en bas et en haut ... un rectangle d'or. Et puis, on continue ... : divise ce nouveau rectangle (ça devient minutieux !) en un carré à gauche et un rectangle à droite ... jusqu'à ce que cela ne soit plus possible !
Quelle drôle de figure nous obtenons !
Je crois que Hergé aurait adoré ce petit exercice, regarde :
Vois-tu comment ces images sont construites ?
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Faisons une petite pause de géométrie et revenons à nos œuvres d'art. Regarde :
La Joconde, Léonard de Vinci, 1503.
Le Parthénon d'Athènes (Ve siècle avant J.-C.
... et même le logo d'Apple (créé en 1976) :
Et oui, les modernes aussi aiment les rectangles d'or ! Tu vois comme ce logo a été dessiné ? Il serait assez facile de reproduire cette pomme à l'identique, une fois que l'on connait son secret ... 😉
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Reprenons notre investigation géométrique, c'est presque fini ! Pour la dernière étape, tu vas avoir besoin d'un compas... car tu vas construire une spirale d'or !!
Une spirale d'or, cela ressemble à cela :
... ou à cela :
Si les artistes trouvent cette spirale si belle, c'est sans doute parce qu'elle est très présente dans la Nature ... Certains vont même jusqu'à penser que le nombre d'or est le langage de la Nature, tu te souviens ? (cf. séance 3, Fibonacci dans la Nature)
Pour ce travail, nous allons nous concentrer uniquement sur les carrés de ta figure. Tu peux les repasser en couleur si tu veux y voir plus clair.
1. Commence par tracer un quart de cercle de centre 0 (désignez ce point à l'enfant, afin qu'il trace son arc dans le bons sens !) dans le plus grand carré de la figure, de telle sorte que son rayon soit égal à la longueur du côté du carré.
2. Trace de la même façon un arc de cercle dans le deuxième carré, de manière à ce qu'il poursuive le premier.
3. Passe au carré suivant, avec la même consigne.
4. Continue jusqu'à ce que les arcs soient trop petits pour pouvoir être tracés.
Tadam !!
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Allez, et pour se détendre avant de clore la séance, jetons un coup d’œil à :
La Joconde, Léonard de Vinci, 1503.
La Grande vague de Kanagawa, Hokusai, 1820.
Mais là, c'est presque trop facile !! 😄
Alors, écoute : peut-être qu'en observant attentivement d'autres œuvres d'art, tu découvriras, toi aussi, des rectangles et des spirales d'or cachés ... ? 😏
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Bye, bye, Fibonacci, et merci pour tout !! 😊
Demain nous nous évadons pour un petit week-end au pied des pistes - avant qu'elles ne soient investies par les touristes. J'aime tellement nos montagnes en octobre, je sens que nous avons revenir ressourcés, et nous en avons bien besoin !! ❤
Je vous souhaite un mois octobre doré aux parfums de cannelle, jalonné de petits dîners réconfortants entre amis ! Lovez-vous dans de bons pulls doudous et prenez bien soin de vous !!
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5 comments
Je ne me lasse pas de ces séances mathématiques, inutile de préciser que ça s’adresse directement à l’enfant, même adulte je me sentais tout aussi concernée à la lecture de l’article 😁. Nous avions visionné un documentaire avec les filles sur le nombre d’or dans le corps humain, l’utilisation de la spirale dans l’art sera un merveilleux complément. Alors mille mercis pour toutes ces découvertes et ces séances « clef en main » qui pimentent plus qu’agréablement nos WE
ReplyDeleteUn superbe article : merci !
ReplyDeleteTrès intéressant, j'ai bien appris moi aussi avec cet article, merci
ReplyDeleteOh génial! Je vais partager ça avec mon grand, qui va adorer j’en suis certaine!
ReplyDeleteC'est formidable! Je n'avais pas vu cette série d'articles sur Fibonacci ! Nous avons déjà vu cela chez nous mais là , ça donne vraiment envie de recommencer ! bravo!
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