La suite de Fibonacci

Ah, la suite de Fibonacci et ses mystères ... ❤

 

Les enfants ont rencontré cette étrange série mathématique au détour d'une page d'Astrocat, les Lois de la science. Ils avaient retenu cette idée étonnante : certains nombres sont récurrents dans la Nature. Trois feuilles pour le trèfle, cinq pétales pour le nénuphar et treize spirales pour la pomme de pin. Quoiqu'elle puisse en avoir aussi vingt-et-un. Mais jamais quatorze, ni vingt. 

 

La Nature est rigoureuse, et elle a la bosse des maths, voilà. 😊

Les choses en étaient restées là, mais cette question d'une Nature mathématicienne revenait souvent dans l'esprit des enfants, à travers des questions auxquelles j'étais bien incapable de répondre : "Pourquoi ? Et comment ?"

Nous avons décidé d'explorer un peu plus avant cette suite de Fibonacci - je ne vous garantis pas cependant qu'on puisse répondre aux questions Pourquoi et Comment au terme du voyage, hein ! 😅

J'ai d'abord cherché une histoire amusante pour introduire le concept. J'ai cherché plusieurs jours avant de me souvenir de la légende de l'échiquier (à lire ICI si vous ne la connaissez pas).

J'ai simplement modifié légèrement l'algorithme d'origine pour les besoins de ma cause. 😉

Avant de commencer, munissez-vous d'un plateau de jeu de dames, et demandez à votre enfant d'en dénombrer les cases : 100 tout rond.

Assurez-vous également d'avoir, dans vos placards, un sac de riz (ou de lentilles) et commencez à raconter.

Voici l'histoire :

"Il était une fois un roi ... Comment s'appelait-il ? (Laissez votre enfant lui choisir un nom). Donc, notre Roi adorait jouer aux dames. Il y jouait toute la journée ! Et comme tu t'en doutes, il était devenu très fort à force d'entrainement. Du coup, il lui était difficile de s'amuser, car il battait tous ses adversaires à plat de couture ! Paf, en quelques coups, les parties étaient réglées !

Cependant, il y a avait dans le royaume un autre joueur talentueux, c'était le petit paysan ... Comment allons-nous appeler notre paysan ?

Le petit paysan n'était tout de même pas aussi fort que le Roi, non, mais le battre n'était pas facile pour le monarque. Le roi adorait jouer avec le paysan. Il lui disait : "Reviens demain ! À la première heure ! Nous jouerons toute la journée ! C'est un ordre !"

Seulement, le Roi, qui était riche et n'avait pas besoin de travailler, ne s'apercevait pas qu'en exigeant cela du petit paysan, il lui nuisait. Le petit paysan ne pouvait plus cultiver son champ, car il passait ses journées dans la chambre du roi ! Il était pauvre, mais il devenait de plus en plus pauvre, car il n'avait plus le temps de réaliser ses travaux. Et le Roi ne s'en souciait pas du tout, il ne s'apercevait pas qu'en exigeant la présence du petit paysan à ses côtés, il le ruinait.

Un jour, le roi, très satisfait de la partie qu'il venait de gagner, dit au petit paysan :

"J'ai tellement de plaisir à jouer aux dames avec toi, que je veux t'offrir un petit cadeau. Dis-moi ce qui te ferait plaisir !"

Le paysan était malin, et il vit aussitôt là l'occasion de se dédommager de toutes les heures passées à jouer avec son souverain.

"Ce que je demande, Sire ? Voilà : je voudrais que vous placiez un grain de riz sur la première case de votre damier. Et également un grain de riz sur la deuxième case de votre damier. Sur chaque case ensuite, nous poserons autant de grains de riz qu'en comportent les deux cases précédentes. Lorsque le damier sera ainsi garni, vous me donnerez tous les grains de riz qu'il supporte."

"C'est bien peu de choses", s'amusa le Roi.

Et il ordonna aussitôt qu'un serviteur apporte un sac de riz."

Proposez à l'enfant de distribuer les grains de riz selon le vœu du petit paysan : un grain sur la première case et un autre grain sur la deuxième. La troisième case reçoit ce qui est posé sur les deux premières cases, soit deux grains de riz.

La quatrième case reçoit la somme des grains de riz posés sur la deux cases précédentes ...

... soit trois grains.

 

On continue ...

La huitième case contient 21 grains, la neuvième contient 13 + 21, soit 34 grains. La dixième 21 + 34, soit 55 grains. 

Ouille, tout cela commence à être difficile à placer sur les cases de notre damier ...

"Attends, dit Antonin, je vais fabriquer des étiquettes en papier, cela ira plus vite.

- Bonne idée, dis-je. Calculons, étiquetons, et puis le Roi demandera à un serviteur de compter les grains de riz de la récompense, parce que nous, on en a marre." 😊

Les enfants s’attèlent aux sommes avec sérieux, d'abord en les effectuant de tête. Parvenus aux nombres à quatre chiffres, bon, on décide qu'à l'époque de notre histoire, la calculatrice avait été inventée. 😉

 

Les enfants étiquettent patiemment jusqu'à la case 35, et Antonin s'exclame, mi-découragé, mi-admiratif : "Je savais dès le début que la somme allait être énorme, mais là !!!"

 

C'est le moment de dégainer une petite fiche-réponse, qui compile les cent premiers nombres de la suite de Fibonacci (CLIC pour télécharger) : 

 

Voici donc, dans vos oreilles ébahies, le nombre de grains de riz déposé sur la dernière case - il faut imaginer une très très grande case ! :

 

"Ah ben, conclut Louiselle, il est vraiment malin, le petit paysan ! Car il n'a pas demandé seulement les grains de riz contenus sur la dernière case, mais ceux de tout le damier ! Le voilà méga riche car maintenant ... "

 

Bon courage ! 😄

 

(Je crois  notre Roi-champion-de-dames définitivement ruiné. La question devient donc : combien d'années lui faudra-t-il pour rembourser sa dette, sachant que le rendement du riz est de trois tonnes par hectares, et qu'un kilo de riz comprend 25 000 grains ? 😄)

 

J'explique aux enfants : Cette série de nombre porte un nom, c'est la suite de Fibonacci. Léonardo Fibonacci, c'est le nom du mathématicien qui l'a modélisée au Moyen Âge. C'est le mathématicien le plus connu du Moyen âge, grâce à cette séquence ! 😲

Allons coller son portrait sur notre frise chronologique - et puisqu'on y est, on colle la suite de Fibonacci, aussi ; je suis sûre qu'elle sera très utile, dans notre couloir ... 😉

(Vous pouvez télécharger ces deux documents ICI)

 

Bon, le jeu est amusant, mais en quoi cette série de nombre est-elle importante dans l'histoire des mathématiques ? 

J'explique aux enfants qu'en modélisant cette suite toute simple, Fibonacci a mis le doigt sur quelque chose de capital : d'abord, parce que ces nombres sont partout, partout dans la Nature, et qu'ils sont, en quelque sorte, le symbole de l'harmonie dans toutes les choses. Si on est très attentif, on retrouve ces nombres partout dans notre monde : les hommes les utilisent en peinture, en architecture, en musique et en géométrie ... et même en magie.

En magie ? Oui, oui ! Si un petit tour de magie mathématique façon Fibonacci vous intéresse, revenez dans la semaine, j'essaie de vous poster cela ! 😊

Après tout ce boulot, l'heure est venue de se poser dans le canapé ... avec un bon bouquin.

 

"En vrai, dis-je aux enfants, Fibonacci n'a pas découvert sa suite de nombres si célèbre en alignant des grains de riz sur un damier.

- Non ? Mais comment alors ?

- En comptant des lapins.

- ??

- Plus précisément, il voulait savoir : si j'achète un couple de lapins, il va faire des bébés. Si j'achète deux lapins en janvier, combien de lapins aurai-je à la fin de l'année ? Un couple de lapin peut avoir deux bébés tous les mois. Alors, Fibonacci s'est mis à calculer ... "Mais au fait, s'est-il exclamé, il ne faut pas que j'oublie mes bébés lapins ! Eux aussi peuvent faire des bébés, dès qu'ils ont un mois passés ! Et les bébés de mes bébés vont faire des bébés eux aussi ...". Et Fibonacci a calculé, calculé ... Ce fut un calcul très compliqué et très amusant, qui lui permit de découvrir la suite magique que tu as construis avec le damier."

 

Les enfants sont à présent mûrs pour apprécier comme il se doit le petit bijou d'humour d'Emily Gravett ... ❤

 

Pour les néophytes, c'est un simple calendrier, truffé de fantaisie - et de lapins. Mais pour les mathématiciens avertis (comme le sont à présent les enfants), c'est bien plus que cela, bien sûr !!

 

 

 Je cogite d'ores et déjà sur une séance dédiée au nombre d'or, vous me suivez ?? 😏

 

À la vie et aux mathématiques,

Prenez soin de vous ! 😘

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1. La suite de Fibonacci

2. Les cartes de Fibonacci à télécharger

3. Fibonacci dans la Nature

4. A la découverte du nombre d'or  

5. La spirale de Fibonacci