Transformation du carré en binôme
March 09, 2021
Binôme, binôme ... Attendez, j'ai déjà entendu ce mot-là quelque part ... "Travailler en binôme" ? Non, pas dans ce contexte ... Binôme, binôme ... Ah, j'y suis !!
Ce puzzle montessorien, vous savez, qui permet au jeune enfant de jouer avec l'algèbre de façon sensorielle avant même d'être en âge d'aligner les équations.
Mais, au fait ... D'où lui vient ce nom ? C'est quoi, un binôme, en mathématiques ?
Un binôme, c'est un truc que nous connaissons bien pour en avoir manipulé en long, en large et en travers, au collège et au lycée. C'est une expression algébrique qui se compose de deux termes (deux "monômes", si, si) séparés par le signe + ou - .
Pour l'illustrer très simplement, a + b est un binôme.
a² - b² aussi.
Voilà, voilà.
Mais pourquoi je vous raconte tout ça ??
Parce qu'hier soir, j'ai trouvé ceci au chevet d'Antonin :
C'était l'heure du bisou du soir, et mon homme était passé embrasser le Damoiseau avant moi.
"Papa, dit Antonin, j'ai remarqué quelque chose de dingue. Si je prends un carré au hasard, par exemple, 3 x 3, tu vois ? Et que je prends maintenant le produit du nombre juste avant et du nombre juste après - ici, 2 x 4 - j'obtiens toujours le même résultat moins 1.
Par exemple, 8 x 8 = 64, et 7 x 9 = 63.
Ou 6 x 6 = 36, et 5 x 7 : 35.
- Bon, répond son père, nous allons voir si on peut trouver des exceptions. S'il n'existe pas d'exception, alors, tu as raison."
Un quart d'heure plus tard, je découvre mon fiston assis sur ses couvertures rejetées. Ses joues sont roses, ses yeux brillent - aïe, l'endormissement risque d'être difficile. Il me lance, très excité :
"Regarde ! Papa m'a montré les identités remarquables et j'ai TOUT compris !! Tu veux que je t'explique ??"
Pour dire vrai, je préfèrerai retrouver mon lit, mais allons-y pour les identités remarquables. Le matin au petit déjeuner, puis sur le chemin de l'école, Antonin m'expliquait encore. Visiblement, ça l'avait travaillé toute la nuit.
J'ai toujours eu l'impression de courir après le gros appétit mathématique d'Antonin, et d'être perpétuellement en retard pour le nourrir sur ce plan. Heureusement qu'il n'attend pas après moi pour faire ses apprentissages - et heureusement que son papa prend ses découvertes au sérieux quelque soit l'heure du jour ou de la nuit. Mais connexion oblige, toute cette histoire m'a donné envie d'apporter ma pierre à l'édifice et de proposer une petite activité montessorienne ... On ne change pas une équipe qui gagne ! 😉
La séance qui suit, je l'aime vraiment beaucoup, car elle a l'avantage de montrer concrètement une équivalence algébrique. Je sais qu'elle fait pâle figure à côté des identités remarquables de mon mari, mais il faut visualiser concrètement les équivalences algébriques, au moins une fois ! On savoure d'autant mieux, me semble-t-il, le plaisir de s'abandonner ensuite à l'abstraction ... Quel bonheur !! J'adorais ça, l'algèbre, au collège. Ce fut une libération pour moi de constater que les maths ne se bornaient pas au calcul (que je déteste), et de découvrir la logique pure ... N'empêche que j'aurais aimé, parfois, un petit jeu de va-et-vient entre ces expressions abstraites et les programmes de calcul qu'elles représentaient ...
L'exercice du jour, très court, est aisément réalisable à la maison. Dans le jargon montessorien, cette séance s'appelle : "La transformation du carré en binôme", et elle est très très simple, vous allez voir !!
Matériel :
- Un élastique coloré ou de la ficelle, un brin de laine ...
- Papier, crayon, ciseaux
- Mini marque-pages "post-it", si vous en avez.
- Un carré de 100 perles dorées - à défaut, une plaque de 100 d'un autre matériel de numération. On peut aussi construire une centaine à l'aide de cubes à compter.
Prérequis : La définition du carré en algèbre (multiplication d'un nombre par lui-même) et sa notation (chiffre 2 en exposant).
Déroulé :
Invitez l'enfant sur le tapis, et lui montrer le carré de 100 perles.
"Ceci est un nombre au carré. Lequel ?
- C'est 10 au carré."
J'explique à l'enfant que je vais lui montrer un autre carré dans 10². J'enroule alors un élastique autour de ma centaine, de manière à isoler, en haut à gauche, un carré de 4 perles sur 4.
Je demande ensuite à l'enfant de me décrire les différentes figures dont notre carré se compose à présent. D'abord, nous avons un carré de 4. On compte à haute voix les unités de ses côtés : 1, 2, 3, 4 de gauche à droite. 1, 2, 3, 4 de haut en bas. Carré de 4, ou, comme nous savons l'écrire, 4². Étiquetons ce carré !
Mais nous avons un autre carré dans la figure, en bas à droite ! Vérifions en comptant les perles de ses côtés : c'est un carré de 6, ou 6². On l'étiquette ! 😊
Nous avons enfin deux rectangles. Celui en haut à droite mesure 6 perles sur 4 perles de côté. Pour le dire autrement, il se compose de 6 perles 4 fois, soit : 6 x 4.
Le dernier rectangle mesure 4 perles sur 6 ; il se compose de 4 perles 6 fois.
Nous constatons une équivalence ! 10² peut être obtenu en additionnant les différentes parties du carré que nous venons d'étiqueter : 4² + 6² + (6 x 4) + (4 x 6).
Le temps est venu pour l'enfant d'écrire sa première identité ! Une "identité", c'est une relation d'égalité. C'est une sorte de "phrase mathématique" qui va s'organiser autour du signe "égal".
Antonin a voulu titré sa feuille avec un joli mot qu'il venait de découvrir : "Équation". Je l'ai laissé faire, bien qu'il s'agisse, en réalité, d'une utilisation impropre : l'équation comporte en général une ou plusieurs "inconnues" et est formulée pour résoudre un problème. Or, dans la séance qui nous occupe, toutes les valeurs sont connues ; il ne s'agit pas de résoudre une équation, mais plutôt de comprendre qu'on peut étudier pour elles-mêmes les relations des nombres entre eux.
Ici, on a bien une équivalence. On sait que notre "grand" carré équivaut à la somme des figures que nous avons "découpé " dedans.
Donc, nous pouvons écrire - et l'enfant va le trouver tout seul aussitôt :
10² = 4² + 6² + (6 x 4) + (4 x 6)
Vérifions-le en calculant, c'est très facile !!
100 = 16 + 24 + 24 + 36
La principale nouveauté, pour Antonin, est d'ordre méthodologique : je lui explique que l'identité doit être reprise intégralement, en allant à la ligne, mais que chaque terme peut être remplacé par un équivalent.
Et on déroule : Antonin additionne les termes deux à deux : (16+ 24) et (24 + 36), ce qui nous donne :
100 = 40 + 60
Et donc :
100 = 100
L'égalité est bien vérifiée - et l'enfant vient de réaliser son premier cours d'algèbre !!
Champomy pour tout le monde !!! 🎉🎉🎉
J'aime le sentiment de fierté ressenti à l'issue de cette séance ... Pourtant, l'enfant n'a rien fait de nouveau, mais il pressent bien qu'un monde nouveau s'ouvre à lui ... !
Vive l'algèbre, et prenez soin de vous ! 😊
15 comments
Génial 🙌
ReplyDeleteLe mien suivant de près Antonin (quelques mois de moins et le même appétit😃) merci beaucoup! Il va adorer!
ReplyDeleteGénial comme tjs😍
ReplyDeleteEccellent merci. Je viens de lire ton billet. Faut vraiment que je me penche sur le matériel et plus de manipulation en 6/12 ... pour remettre davantage de manipulation et d'activité sensorielle. Je sens que je vais me relire tous tes billets mathématiques ce week end ❤️
ReplyDeleteEncore plus concret que le cube du binôme lui-même ! Merci 😀
ReplyDeleteC'est vrai ! Même si cette activité ne s'y supplée pas, elle parle d'autre chose.
DeleteLe "cube" du binôme est un cube parce qu'il représente un binôme ... au cube !
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Ah, euh, désolé, la formule mathématique ci-dessus est illisible, parce que les exposants ne s'affichent pas correctement ... :-D
DeleteTu peux éventuellement mettre ^ juste avant l'exposant : x^2, c'est x au carré
DeleteC'est souvent noté ainsi en programmation.
Effectivement, le cube du binôme est une autre activité (d ailleurs, si vous la présentez à votre fils, je serais très intéressée par votre façon de la faire!).
DeleteJusqu à présent, je n en ai utilisé que le couvercle qui représente bien l identité remarquable dont vous parlez dans cet article. Ma fille a mesuré les côtés des carrés et des rectangles. Mais votre façon de faire est encore plus visuelle. Je ne manquerai pas d y revenir avec elle! Merci encore pour cet article, comme pour tous ceux du blog. Il fait que je revienne à ceux qui concernent les 2 ans d ailleurs . ...
(a+b)^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3
DeleteMerci, je ne connaissais pas cette notation ^ !
DeleteRomy, oui, je parlerai peut-être du cube du binôme ... Mais ma façon de faire suit toujours très rigoureusement la présentation montessorienne, en général, je n'invente rien ! On trouve beaucoup de ressources sur le blog du binôme, je me dis en ce moment que je préfère me consacrer, sur le peu de temps que j'ai pour ce blog, sur les activités dont on parle moins ... Qu'en pensez-vous ? ;-)
Oui, on trouve sur internet beaucoup de ressources sur le cube du binôme et du trinôme mais elles presentent surtout le puzzle à des enfants de maternelle. Je n ai rien trouvé de très clair pour expliquer les identités remarquables à mes enfants plus grands. Je vais chercher encore. Mais oui, tant qu à choisir, on préfère que vous présentiez les activités originales que vous proposez à vos enfants plutôt que des présentations montessori strictes qu on peut trouver ailleurs!
DeleteEt bien je viens de comprendre la signification de ces identités remarquables apprises par cœur mais n’ayant aucun sens pour moi... C’est dingue qu’on ne passe pas par cette étape avant de nous les faire ingurgiter au collège, peut être que cela m’aurait évité le traumatisme mathématique! Merci beaucoup Elsa!
ReplyDeleteJe trouve ça fou aussi ... :-/
DeleteGénial, merci! Tu présentes aussi (a-b)^2?
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