Délicieuse géométrie 3D

 

Tout est parti de là : de Noël, il restait des bonbons. 😊 De bons bonbons, d'ailleurs, des bonbons mous, aux couleurs pastelles, très parfumés, genre pâte de fruits.

 

Que faire avec de tels bonbons ? Les manger, bien entendu. Mais peut-être pourrait-on, avant de les dévorer, exploiter leurs merveilleuses propriétés sensorielles dans une petite activité de géométrie ?

Les enfants ont trouvé cette idée excellente, et cette folle séance a beaucoup plu. Notez qu'il a tout à fait possible, si vous n'avez pas de bonbons, de la réaliser avec des géomags. Vous y gagnerez même en rigueur géométrique. Mais je ne garantis pas qu'elle déclenche alors le même torrent d’enthousiasme. Et puis, enfoncer les bonbons dans les cure-dents demande une certaine dextérité. L'enfant doit choisir son angle d'attaque, arrêter son geste à temps, consolider la figure réalisée ... Le résultat est toujours un peu cabossé, mais les petits doigts travaillent plus qu'en assemblant des aimants. 

 

Après, c'est à vous de voir, hein. 😄

L'atelier du jour ne nécessite donc que deux matériaux simples et peu coûteux, qui serviront à créer des figures en trois dimensions : des cure-dents et des bonbons "boules de gomme". L'objectif est de revoir tout le vocabulaire lié aux solides, et de prendre conscience de certaines de leurs remarquables propriétés. Suivez le guide ! 😊

I. Les prismes

1. Demandez à l'enfant de réaliser un triangle en utilisant les cures dents et les bonbons. "Je vais te prouver que n'importe quelle figure plane peut être transformée en prisme. Ici, nous allons transformer ce triangle en prisme ! Comment faire ? Je te donne un indice : construis un deuxième triangle identique au premier ..."

 

2. Ces deux triangles identiques sont les bases de notre futur prisme. Et d'ailleurs, qu'est-ce qu'un prime ? C'est justement cela : un solide dont les bases sont identiques. La question maintenant est : comment assembler ces deux triangles pour construire notre prisme ? Ben, comme ça :

3. Une fois le polyèdre construit, on observe une nouvelle caractéristique du prime : on le sait,  nos bases sont identiques (ici, triangulaires). Quelle forme ont les autres faces ? Un prisme, c'est un solide qui possède deux bases identiques et dont toutes les autres faces sont des parallélogrammes. 

 

(Note : dans le cas des prismes droits, ce sont même des rectangles ... qui ne sont que des parallélogrammes particuliers !)

4. Quand on pense à un prisme, on a tendance à imaginer un prisme droit ... Mais il existe aussi des prismes obliques ! Construisons-en un ! Ça tombe bien, nos fragiles constructions ont une tendance naturelle à jouer à la tour de Pise... 😄

Vérifions : ce solide est-il un prisme ? Ses bases sont-elles identiques ? Ses autres faces sont-elles des parallélogrammes ? Oui. Le prime oblique est bien un prime à part entière.

5. Mangeons donc un petit bonbon pour fêter cette découverte. Et tout en le mâchant, réfléchissons : notre postulat de départ était que n'importe quelle figure plane pouvait être transformée en prisme. Qu'en est-il si je pars d'une figure plane à 4 côtés ?

À 5 côtés ?

 

Si je pars d'une étoile ?

 

Vérifions à chaque fois qu'il s'agit bien d'un prisme : les deux bases sont-elles identiques ? Les autres faces sont-elles des parallélogrammes ?

 

II.  Les pyramides

 

 

1. Demandez à votre enfant de réaliser un carré avec les boules de gomme et les cure-dents.

 

Il plante ensuite un cure-dent dans chaque sommet, dans un angle tel que tous les cure-dents se rejoignent en un point central, matérialisé par un cinquième bonbon : c'est l'apex, le sommet opposé à la base. Nous voici avec une pyramide à base carrée, c'est une forme que nous connaissons bien grâce aux Égyptiens de l'Antiquité !

 

2. Les pyramides égyptiennes sont un type de pyramide, mais il en existe beaucoup d'autres. Qu'est-ce qu'une pyramide ? C'est un solide dont la base est reliée en un point, l'apex. 

 

Cette base peut-elle avoir n'importe quelle forme ? Essayons divers polygones, comme le triangle ...

... ou le pentagone.

 

3. On remarque une autre particularité à la pyramide : les faces (autres que la base) sont triangulaires. 

 

Vérifions-le en construisant d'autres pyramides encore - pourquoi ne pas essayer une base en forme d'étoile ? 

 

Pour cette partie de l'exercice, prévoyez des piques à brochettes (ou des spaghettis, qui se rompent facilement !), plus longues que les cure-dents, pour réaliser les faces triangulaires !

4. Si l'apex est centré, on obtient une pyramide droite, mais il est bien sûr possible de construire une pyramide oblique.Vérifions à chaque fois : les arêtes convergent-elles vers l'apex ? Les faces autres que la base sont-elles triangulaires ? Si oui, c'est une pyramide ! 😊

 

III. Les antiprismes

 

1. Essayons quelque chose de nouveau... Nous allons construire un polyèdre un peu particulier, dont on parle peu, mais qui est fort joli ! ❤ Cette nouvelle figure, comme le prisme, a deux bases identiques. Construisons donc deux carrés à l'aide de nos cure-dents et de nos bonbons-gomme ...

 

 

2. Superposons les deux bases et tournons celle du dessus de façon à faire coïncider ses sommets avec les milieux des côtés du carré du dessous. Comme ça :

 

3. Comment connecter ces deux carrés entre eux ? Nous allons devoir construire une série de triangles "alternés" ... comme ceci : 

4. On continue de construire des triangles tout autour de la figure, de façon à connecter chaque sommet du carré du dessus à deux sommets du carré du dessous. Lorsque tous les sommets sont connectés, tadam !! Voilà l'antiprisme ! Qu'il est beau !! 😄 (N'oubliez pas d'admirer son élégante torsion vu de dessus !)

 

Un prisme a deux bases identiques, reliées entre elles par des parallélogrammes - voire des rectangles. 

 

Un antiprisme a également deux bases identiques, mais cette fois, elles sont reliées par des triangles ! 

 

5. Essayons pour finir de construire un antiprisme pentagonal ...

 

 

... et un antiprisme triangulaire !

 

 

( Si vous le pouvez, conservez cet antiprisme triangulaire jusqu'à l'étape suivante sans le déconstruire ... Il sera intéressant de le comparer à un solide obtenu selon un autre programme de construction ... 😉 )

 

IV. Les solides de Platon 

 

1. Fabriquons un tétraèdre :

 

Commençons par construire un triangle avec les cure-dents et les gommes ...

Transformons ce triangle en pyramide ...

Ce polyèdre apparemment simple est en réalité extraordinaire ! Il fait partie de la famille très sélective des "solides de Platon" !

 

N'importe quel polygone peut être transformé en polyèdre. 

 

N'importe quel polygone peut être transformé en prime ou en pyramide. 

 

Mais voilà quelque chose d'incroyable : il n'existe que  cinq solides de Platon !

 

Un solide de Platon est un solide qui remplit les conditions suivantes :

 

- Chaque face a exactement la même forme. Notre pyramide à base triangulaire remplit-elle cette condition ? Oui, toutes les faces ont une forme de triangle, tous identiques.

 

-  Chaque sommet est le point de rencontre du même nombre d'arêtes. Est-ce bien le cas ici ? Oui, chacun des 4 sommets est le point de rencontre de 3 arêtes.

- La longueur de toutes les arêtes est identique. Sur notre pyramide, cela se vérifie encore une fois.

Cette pyramide à base triangulaire est si particulière qu'on lui a donné un nom en propre : le tétraèdre !

2. Fabriquons un cube (ou héxaèdre) :

 

Voici un solide de Platon que les enfants connaissent bien ! 😊

Vérifions s'il s'agit d'un solide de Platon :

- Chaque face a exactement la même forme : ici, toutes les faces sont des carrés, tous identiques.

 

-  Chaque sommet est le point de rencontre du même nombre d'arête : ici, chacun des 8 sommets est le point de rencontre de 3 arêtes.

- Toutes les arêtes sont de longueur identique, puisque les côtés de carrés constituant la figure ont tous même longueur.

On peut attirer l'attention de l'enfant sur le fait que le cube peut également s'appeler "prisme à base carrée". Il ne retiendra sans doute pas tout le vocabulaire en une séquence, mais il est bon de l'y exposer, et de l'employer sans complexe devant lui, cela fera son chemin dans son jeune esprit ! 😉

3. Fabriquons un octaèdre :

 

Pour ce solide, on commence par construire une pyramide à base carrée ... 

 

 

... on la retourne, et on construit une deuxième pyramide, à partir de la même base, pointant à l'opposé.

 

Voici l'octaèdre ! Toutes ses faces sont des triangles, comme le tétraèdre ! Votre enfant saura-t-il énoncer les différences entres ces deux solides ?

 

Reprenez, si vous l'avez gardé, l'antiprisme triangulaire confectionné à l'étape précédente. Que constate-t-on en comparant ces deux solides ? 😊

 

 (Ils ont identiques !!! ... mais leur programme de construction varie du tout au tout ! Magie de la géométrie !! ❤ )

4. Fabriquons un dodécaèdre :

Attention, challenge ! Voici le solide le plus difficile à construire de toute la série - et c'est aussi le plus rigolo, forcément. Ne vous attendez pas à obtenir un dodécaèdre parfait du premier coup, mais avec un peu de pratique, le résultat peut tendre à une certaine ressemblance. 😄

On commence par construire un pentagone ...

 

... auquel on attache un second pentagone. Travailler en équipe s'avère nécessaire, car il faut maintenir la structure pendant la construction.

 

On fixe un autre pentagone ...

 

 ... et ainsi de suite, jusqu'à ce que la base soit encadrée de pentagones. On obtient une sorte de bol - pas forcément très identifiable sur la photo ci-dessous, désolée ! 👇 C'est que cela commence à devenir scabreux, cette histoire, et que les enfants n'ont que quatre mains à eux deux pour maintenir tout ça ...  Prenez le temps d'admirer cette fragile structure, car il s'agit d'un demi-dodécaèdre !! Un petit bonbon pour fêter ça ? 😊

 

Évidement, un demi-dodécaèdre ne saurait nous satisfaire. En plantant un cure-dent dans chacun des 4 sommets les plus élevés, on coiffe la structure d'un dernier pentagone.

 

Félicitation, voici un magnifique (?) dodécaèdre (prenez deux ou trois bonbons pour célébrer l'exploit) ! 😎

5. Fabriquons un icosaèdre :

 

Rassurez-vous, vous voilà au bout  de votre peine, avec le tout dernier solide platonicien. L'icosaèdre n'est pas aussi tordu que le dodécaèdre, ou plutôt, si ! Tordu, il l'est, mais à présent, on maitrise ... 😉

Tentez le coup : lancez à votre enfant d'un ton triomphal : "Pour construire un icosaèdre, commençons par faire un antiprisme pentagonal !!". Il se peut que cette phrase soit immédiatement suivie d'effet - ô joie de la pédagogie ! ❤

Sinon, détaillez - ce qui vous vaudra quand même de beaux moments de fierté. 😊 Pour construire un icosaèdre, c'est très simple. On bâtit une base pentagonale ( 5 côtés, oui, c'est cela ...) ...

... et on y  greffe une base identique façon "antiprisme", vous vous souvenez ?

J'aime beaucoup la photo ci-dessus 👆, car les enfants sont partis chacun dans une stratégie de construction différente, qui illustre leur compréhension intime de la figure : 

 

- Louiselle construit deux bases identiques, les superpose en les tournant l'une par rapport à l'autre, et  s'occupe enfin de les connecter. ❤

- Antonin bâtit une seule base, construit les triangles latéraux alternés, reliés à chaque sommet, avant de construire la deuxième base (et la petite langue tirée pour cause de concentration intense, c'est bonus !) ❤

 

Bon, mais comment fait-on pour transformer un antiprisme pentagonal en icosaèdre ? Et bien,  c'est très simple, puisque notre antiprisme représente, en quelque sorte, l'anneau central de notre dernière figure. Il s'agit de greffer une pyramide sur cette structure, de façon à obtenir une sorte de tente médiévale miniature ...

Et puis, hop, on retourne la structure comme une crêpe ...

... et on construit une deuxième pyramide de l'autre côté !

Et ...

... Fierté !! 😊

J'avais bien prévenu les enfants : la dernière figure n'est pas la plus difficile - il est bon, en règle générale, de ne pas garder le plus difficile pour la fin (mais pour la toute-avant-fin, oui !! 😁), et d'aménager soigneusement la jolie satisfaction qui clôt une séquence ... qui ne devrait jamais, pour l'apprenant, s'achever sur une frustration, nous sommes d'accord ? 😉

 

❤❤ 

❤

C'est fini pour aujourd'hui, mais à vous, je peux le dire : je suis tombée en amour des solides des Platon, et j'ai envie d'approfondir auprès des enfants leurs perfections physiques, mais aussi, why not ?, leur aspect philosophique, symbolique, voire lithothérapeutique ... 😄 Qui me suit ?

Dans l'attente d'une suite éventuelle, surtout, portez-vous bien, prenez-vous de vous, et n'oubliez pas de vous brosser les dents ! 😄