Les 4 opérations : Progression Montessori

January 29, 2019

Antonin s'installe en vue d'une série de multiplications

L'article du jour est la suite logique de celui-là : "Numération : Progression Montessori", dans lequel j'essayais de mettre à plat l'enchainement des leçons montessoriennes relatives au dénombrement.

Figurez-vous que deux ans plus tard, je n'ai pas oublié que je vous devais un second opus, dédié aux quatre opérations de base en calcul ... Le voilà enfin, après avoir trainé dans mes brouillons depuis ... hum. Bref. 😁

Je vous le disais déjà à l'époque, et je le répète : la grande difficulté, lorsqu'on cherche à appréhender la progression montessorienne, c'est que la plupart des compétences se construisent de front. C'est galère, oui, on préfèrerait une progression où rien ne dépasse, "en escalier", si vous voulez : aucune compétence n'est abordée tant que la précédente n'est pas acquise, et voilà ! Ce serait si simple pour l'éducateur !!

Si vous êtres un tantinet montessorien, vous le savez : vous pouvez vous rhabiller. 😉 On peut certes reprocher certaines choses à la pédagogie Montessori aux lumières des sciences d'aujourd'hui, mais certainement pas d'être béhavioriste. Maria Montessori avait parfaitement conscience que l'apprenant acquiert les notions dans la complexité. La limpidité avec laquelle elle a su rendre compte de cette complexité fait que parfois, aujourd'hui, sa théorie apparait simpliste. Je le déplore ; il n'en est rien ! Pour moi, j'ai toujours besoin de me munir d'une feuille de papier et d'un crayon dès que je cherche à enchainer deux notions, même si elles ont été balisées par de grands pédagogues avant moi. Vous verrez que la progression du jour ne fait pas exception - bon, vous avez bien vos papier-crayon sous la main ? 😉

Attention ! Ne perdez pas de vue une seconde que le "Bloc" du jour s'articule avec le précédent. J'essaie tout au long de l'article qui suit de tisser un maximum de ponts. Vous me direz si ça vous "parle" ... 😅

Dans ma tête, je vois les choses comme ça : des "rounds" qui se construisent les uns à la suite des autres, et dont les compétences intrinsèques sont liées. Bien sûr, un round "Numération" peut se développer en parallèle d'un round "Opérations". Non seulement ce n'est pas un problème, mais c'est plutôt sain, quand on y pense !

(J'ajoute qu'il manque cruellement à la pédagogie de Maria Montessori un round "Résolution de problèmes" qui viendrait s'ancrer sur tout le reste ... mais je referme très vite cette parenthèse qui m'entrainerait loin, si loin !! Ha, ha. 😱)

Ce qui est sûr et solide, c'est que pour aborder la progression "Spécial Opérations" dont j'essaie de rendre compte aujourd'hui, l'enfant doit avoir quelques acquis en amont (on parle de "prérequis" en pédagogie ) :

1. Avoir manipulé le fonctionnement du système décimal.
2. Connaitre les symboles du système décimal.
3. Être capable d'associer des symboles et des quantités.

Toutes ces compétences font partie du "Bloc Numération" dont je parlais naguère.

Bon, euh, si vous êtes encore là, nous allons enchaîner, si vous le voulez bien ... Accrochez vos ceintures et laissez-vous guider - c'est très simple ! 😊

(Dernier rappel avant d'y aller pour de bon : les âges indiqués servent de repères dans une école Montessori. Pas de panique, vous pouvez allègrement déplacer le curseur de deux ou trois ans - voire plus ... - si cela correspond à ce qui se passe chez vous. Ne privez pas votre enfant de ces activités si elles lui plaisent sous prétexte qu'il est "trop vieux", cela n'aurait pas de sens !)

1. Appréhender le sens des 4 opérations

Premier round :

Système décimal

On commence, classiquement, avec la présentation de l'addition sans, et avec retenue, la soustraction sans, et avec retenue, la multiplication sans et avec retenue, et la division sans et avec retenue. Le rythme est assez effréné, car si l'enfant présente une bonne compréhension, on enchaine les notions en l'espace de quelques mois. L'idée est de lui donner à voir le sens des quatre opérations - bon, on ne va pas dire "tout en même temps", mais presque. Une "opération" n'a du sens que par rapport aux autres, quand on y pense, en particulier les couples additions/soustractions, multiplications/additions, multiplications/divisions.

Croyez-moi si vous voulez, mais ces présentations, dans une école Montessori, peuvent avoir lieu dès les 4 ans et demi de l'enfant, soit vers le milieu de la Moyenne section. Bien sûr, le sens de ces opérations est construit de manière très matérielle, ancrée dans le concret.

Cependant, elles gagnent, à mon sens, à être proposées régulièrement tout au long de l'âge élémentaire. Elles sont autant de piqûres de rappel pour l'enfant qui acquiert, en parallèle, une technique automatisée de "calcul posé" - qui, à force de répétitions, fait perdre le sens des opérations effectuées. Et pourquoi faut-il toujours commencer par traiter les unités par exemple ? Ah, oui, c'est vrai, à chaque fois qu'on trouve dix unités dans un ordre, il faut les changer "à la banque" pour une unité d'ordre supérieure. C'est ce que signifie cet étrange chiffre miniature qu'on ajoute en tête de colonne ...

J'ai aussi constaté, dans ma pratique, que, suivant son âge, l'enfant "n'injecte" pas le même sens dans cet exercice : à 4 ans, l'enfant s'appuie fortement sur le code-couleurs proposé, alors que celui-ci est facultatif pour un enfant accédant à l'abstraction.

Au niveau du jargon, on trouve tout un tas de vocables montessoriens concernant les opérations de base, selon les traductions de Maria auxquelles on se confronte :

- On nomme "statiques" les opérations effectuées sans retenues, et "dynamiques" celles qui en comportent. Ne vous laissez pas impressionner, ce sont simplement de grands mots - dont on peut se passer.

- Les "GRANDES" additions - ou soustractions, ou ce que vous voulez - peuvent être aussi nommées "AVEC BANQUE". Cela signifie que ces opérations sont effectuées avec du matériel de numération concret. Elles s'opposent à celles "AVEC TIMBRES", qui supposent un pas de plus vers l'abstraction, et dont je vous parle de suite.

Pour la petite histoire, mes élèves appellent souvent "la grande addition" etc., "la GROSSE addition !" Cela vient certainement du fait que les enfants manipulent de grandes quantités, et que le matériel manipulé prend beaucoup de place ... Bref : on en a plein des bras, et quand on est petit, on aime bien ça !! 😊

N'hésitez pas à mettre en scène ces activités : en classe, on donne des rôle à chacun : "Bon, toi, tu aurais 3141 louis d'or et voilà que tu rencontres ton camarade qui en as 2235. Vous décidez de tout mettre ensemble pour être plus riche... Combien de louis va contenir votre coffre de pirates ?". Dans un cadre domestique, on convoque doudous ou figurines : "Bon alors, Grand ours a 1453 pots de miel, mais il rencontre Petit ours qui n'a rien et décide de lui donner 573 pots ... Peux-tu déposer la part de Petit Ours là-bas, sur le tapis ?"

La blogosphère regorge d'exemple concrets de mise en œuvre. Je ne saurai trop vous conseiller d'aller fouiner chez L'école des amours, les Ateliers de Céleste ou Un peu Montessori, Beaucoup d'amour - pour ne citer que quelques uns de mes chouchous.

Notez que l'ordre de présentation, au sein de "round", est assez libre. On peut présenter :

- Addition statique/Addition dynamique / Soustraction statique / Soustraction dynamique, etc.

- Ou : Addition statique/soustraction statique / Addition dynamique / Soustraction dynamique /Multiplication statique ...

- Ou encore : Addition statique / soustraction statique / Multiplication statique / Division statique/ Addition dynamique, etc.
- Ou ...

Adaptez l'ordre des présentations à votre ressenti, au rythme et à l’intérêt de l'enfant - la seule règle, c'est qu'on aborde une opération "avec change" après son équivalent statique.

Et pendant ce temps-là, en numération ...

Tout au long de ce premier round, le travail se poursuit en numération : l'enfant pratique le jeu de mémoire, continue de mettre en paire les symboles et les quantités, poursuit le travail sur les tables de Seguin et les chaines de 100 et de 1000.

Deuxième round :

Soustraction avec retenue : "Maman, aujourd'hui, on en veut une DUUURE, hein !!" 😂

Après avoir proposé tout un tas de "grosses" opérations aux enfants, on leur demande de réaliser un petit pas vers l'abstraction en manipulant des timbres. Cela se fait généralement en fin de Moyenne section ou début de Grande Section : voici donc l'addition avec les timbres, et la soustraction avec les timbres - sans puis avec retenue dans les deux cas.

Une fois de plus, la progression est assez souple, et le premier et le deuxième round peuvent s'interpénétrer :

- Soit vous présentez l'addition avec banque, puis l'addition avec timbres, puis la soustraction avec banque, puis la soustraction avec timbres, etc.

- Soit vous attendez d'avoir passé en revue toutes les opérations de base avec banque avant de présenter les timbres.

À vous de voir, selon votre ressenti et le rythme que vous souhaitez donner à ces apprentissages.

Et pendant ce temps-là, en numération ...

Même travail que dans le round précédent. L'enfant peut commencer à "compter en sautant" s'il est prêt.

Troisième round :

Boite de timbres

Vers 5 ans, on aborde la multiplication sans, puis avec retenue avec les timbres, puis la division sans retenue avec les timbres - avec un petit diviseur (par exemple : 3), puis un grand diviseur (par exemple : 123). Les dividendes, comme toujours avec les GROSSES opérations Montessori, sont d’emblée assez musclés (par exemple : 3684).

Le travail prend ensuite un tour plus formel avec la table de points.

Et pendant ce temps-là, en numération ...

L'enfant poursuit le travail sur les activités qui "résistent", s'il y en a. Le gros du travail de numération à ce stade consiste à "compter en sautant". La mémorisation des opérations (cf. point suivant) ne sera abordée que lorsque toute les activités de numération seront automatisées.